一类非线性四阶波动方程的势阱法

一、一类非线性四阶波动方程的位势井方法（论文文献综述）

黎明堃^[1]（2020）在《两类带有双色散项的非线性发展方程（组）的初边值问题》文中指出非线性波动方程是偏微分方程中的一个重要研究领域。在物理问题中,非线性,色散及耗散这三种因素影响着弹性杆内波的传播。其中,非线性项会使波前变陡甚至破裂,而色散与耗散可以减少波前斜率,制止波发生破裂,从而使弹性杆内波产生最终的稳态。本文共分为三章讨论带有双色散项的非线性发展方程（组）的初边值问题。本文第一章介绍了带有双色散项的非线性发展方程（组）的问题背景。本文第二章用Galerkin方法研究了一类带有双色散项的非线性发展方程组（2.1）-（2.3）)整体强解的存在性与唯一性。本文第三章利用位势井方法证明了一类带有双色散项的非线性发展方程整体弱解的存在性,整体强解的存在性与唯一性。

于佳利^[2]（2019）在《几类非线性高阶发展方程解的定性分析》文中研究指明本文主要研究几类高阶非线性发展方程解的定性性质:初边值问题解的整体存在性,渐近行为和有限时刻爆破等.本文共分五章:第一章主要介绍所研究问题的相关物理背景和发展概况,并阐述了本文的主要研究内容和目的.第二章主要研究一类带有强材料阻尼和流体动力学阻尼的五阶非线性梁方程的初边值问题.利用Galerkin逼近和紧致性方法,得到了问题弱解的整体存在性.其次,基于一个积分不等式引理,给出了能量的指数速率衰减估计.另外,在初始能量为负值,零和正值的情况下,分别得到了该问题的解在有限时间内爆破的充分条件.第三章考虑带有强阻尼和锥退化的Petrovsky方程的初边值问题.首先,通过结合位势井理论及扰动能量方法,对位势井族情形证明了在源项指数p与非线性弱阻尼项指数m之间没有相互约束的情况下,当0<ε（0）<d,I（u0）>0时,解是整体存在的并以指数速率衰减.其次,在源项指数p大于非线性弱阻尼项指数m的情况下,证明了当ε（0）<d,I（u0）<0时解在有限时间内是爆破的,并给出了爆破时间的上下界估计.第四章研究带有阻尼项,非线性源项和声学边界条件的粘弹性波动方程的初边值问题.利用修正的能量方法,在非线性源项指数p大于非线性弱阻尼项指数m的条件下,证明了当初始能量为正值时解在有限时刻爆破.第五章考虑带有非线性边界源项和阻尼项的高阶粘弹性波动方程的初边值问题解的整体存在性,指数衰减和有限时刻爆破.为此,我们采用Galerkin逼近、势井方法和紧致性方法的结合,得到了整体弱解的存在性.其次,对线性边界弱阻尼的情形,当初始数据属于稳定集族时用扰动能量方法证明了能量以指数速率衰减.最后,对于一般形式的边界弱阻尼（线性或非线性）的情形,利用一个改进的微分不等式技巧,证明了当初始数据属于不稳定集族时任何解在有限时间内是爆破的.

吴芙蓉^[3]（2019）在《三类非线性波动方程的适定性研究》文中进行了进一步梳理本文主要利用位势井理论和泛函分析,并结合Galerkin方法以及凹函数方法,针对一类具强阻尼的四阶波动方程的超临界能级解的有限时间爆破、一类具非线性弱阻尼的四阶强耗散应力波动方程的适定性问题和一类具非线性源的随机波动方程的适定性问题展开研究,目的在于揭示解的定性性质对初值的依赖性以及不同因素对解的性质的影响。针对具强阻尼的四阶波动方程在超临界能级解的爆破情况进行了研究。本章结合辅助函数的单调性证明超临界能级状态下不稳定集合关于时间的不变性,利用改进后的凹函数方法得到超临界能级解的有限时间爆破结果。此外,本章还给出了爆破时间上界的估计。针对具非线性弱阻尼的四阶强耗散对数应力波动方程的初边值问题在全能级状态下解的定性性质进行研究。本章利用Galerkin方法证明相应线性常微分方程的定解问题,在此基础上结合压缩映像原理证明解的局部存在,并就该问题构造相应的位势井理论框架以得到能量泛函,势能泛函,Nehari泛函,位势井深及相关性质,结合适当的初始条件,利用有界性原理和泛函分析理论得到次临界能级、临界能级解的整体存在性及超临界能级解的有限时间爆破。针对一类具非线性多项式源的随机波动方程的初边值问题进行研究。本章通过Galerkin逼近方法证明解的局部存在,在此基础上进一步说明解的整体存在性,并结合能量不等式与位势井理论及凹函数方法证明随机方程的解在能量意义上是正概率爆破。

郭亚兵^[4]（2019）在《一类高阶耗散波动方程的适定性研究》文中进行了进一步梳理本课题主要应用位势井方法和泛函分析的理论,针对一类高阶耗散波动方程在三种具不同形式增长阶的非线性外力源（指数源、多项式源和对数源）作用下的初边值问题进行研究,旨在揭示各类问题的初值在受不同外力源作用下对解的适定性的影响。本课题就问题解在三种不同初级能级（次临界初始能级、临界初始能级和任意正初始能级）状态下的定性性质进行深入的挖掘,更加详尽地阐释问题解的动力力学行为对初值的依赖性。第二章针对一类具指数源的高阶耗散波动方程的初边值问题在任意正初始能级状态下进行研究。本章通过引入新的辅助函数和利用改进的凹函数方法得到任意正初始能级状态下解的有限时间爆破。第三章针对一类具多项式源的高阶耗散波动方程的初边值问题的解的局部存在唯一性及其在不同初始能级状态下的整体适定性进行深入的研究。本章通过利用Galerkin方法和压缩映像原理证明局部解的存在性和唯一性,并在位势井理论下讨论次临界能级和临界能级状态下解的整体存在、渐近行为和有限时间爆破,其中特别地给出任意正初始能级状态下解的有限时间爆破。此外本章还对爆破时间的下界进行估计。第四章针对一类具对数源的高阶耗散波动方程的初边值问题在全能状态下解的定性性质进行全面的研究。本章通过利用Logarithmic Sobolev不等式和Galerkin方法及压缩映像原理证明局部解的存在性和唯一性,同时通过位势井方法研究次临界初始能级和临界能级状态下解的整体存在、渐近行为和无限时间爆破,并分析任意正能级状态下解的无限时间爆破。

王茹霞^[5]（2018）在《几类非线性波动方程解的爆破行为》文中认为本文考虑了几类非线性波动方程解的爆破行为,方程具体形式如下:（?）（?）（?）（?）（?）（?）本论文共有五章:第一章介绍了非线性波动方程的研究背景和现状,以及本文研究的主要内容.第二章利用势井理论,通过构造不稳定集,结合凸性分析法证明了非线性四阶波动方程的初边值问题,初值属于不稳定集,初始能量为正且有适当上界时,方程的解在L2（Ω）范数意义下在有限时刻发生爆破;此外,利用特征函数法,证明了非线性四阶波动方程的初边值问题,当非线性项和初值满足一定的条件时,其光滑解在有限时间趋于无穷大.第三章利用特征函数法,证明了强阻尼非线性波动方程的初边值问题,当非线性项和初值满足一定的条件时,其光滑解在有限时间趋于无穷大.第四章利用特征函数法,证明了带积分微分项的非线性波动方程初边值问题,当非线性项和初值满足一定的条件时,其光滑解在有限时间趋于无穷大.第五章总结全文,并提出展望.

孔祥坤^[6]（2018）在《具对数型源高阶波动方程整体适定性研究》文中提出本文主要利用位势井方法和凹函数方法以及泛函分析理论,针对一类具应力项和对数型源项波动方程的初边值问题、一类具对数型源项六阶Boussinesq方程的柯西问题和一类具对数型源项和强阻尼四阶Boussinesq方程的柯西问题进行了研究,其旨在于揭示三类具对数源项方程的初值对于方程解的定性性质的影响.第二章针对一类具应力项和对数型源项波动方程的初边值问题在全能量级下解的适定性进行全面的研究.本章利用Galerkin方法,结合压缩映像原理对于问题的局部解进行了研究.在局部解的基础上,本文得到了在次临界和临界能量级下解的整体存在性和无限时间爆破.本章首次就问题在超临界能量级下解的无限时间爆破进行了研究.第三章针对一类具对数型源项高阶色散Boussinesq方程的柯西问题在次临界、临界能量级下解的适定性进行了研究.本章在位势井理论的框架下给出准确的位势井深的值,在此基础上分别得到在次临界、临界能量级下的解的整体存在性.在研究次临界、临界能量级下解无限时间爆破的时候,结合初始能量情况下又引入了辅助函数,从而解决了解无限时间爆破的问题.第四章针对一类具对数型源项和强阻尼四阶Boussinesq方程的柯西问题.本章在位势井理论的框架下给出准确的位势井深的值.由于该问题含有强阻尼项,所以在本章给出了能量的非递增性.在此基础上分别得到在次临界、临界能量级下的解的整体存在性.在研究次临界、临界能量级下解的无限时间爆破时,结合初始能量情况下又引入了辅助函数,从而解决了解无限时间爆破的问题.

牛屹^[7]（2017）在《几类非线性系统的整体适定性研究》文中进行了进一步梳理本文研究了两类具耦合源项的反应扩散系统和一类非线性Cahn-Hiliard方程的初边值问题以及一类具强阻尼广义Boussinesq方程和一类非线性四阶Schr（?）dinger方程的初值问题.试图在给定非线性项指数范围的条件下,依赖于适当的初值条件得到不同问题的整体解存在与不存在结果,并进一步考虑了解的发展形态.首先,系统分析了两类具耦合源项的反应扩散系统分别在低初始能量、临界初始能量和高初始能量下的解的整体适定性.这两类系统多应用于描述物理学中的热传播,化学中物质的互相转化,生物学中物种的繁衍等.利用耦合源项的对称性,巧妙地得到了能量泛函和Nehari流形,建立了位势井理论的框架结构.结合Galerkin方法和凹函数法得到了解在低能和临界情况下解的整体适定性.特别地,建立了反应扩散系统的比较原理.并结合变分方法得到反应扩散系统在高初始能量下解的整体存在和有限时间爆破结果.然后,研究了一类非线性Cahn-Hiliard方程的初边值问题,该方程多用于描述对时间周期因素敏感的人口成长和扩散模型.色散项强调了空间的可微性,各向异性项则反映了空间的多向性.运用大量的泛函分析的技巧,解决了方程主部的四阶色散项,一般型式的各向异性项以及空间高维所带来的困难.一致地从Nehari泛函的范围推出色散项与各向异性项的范围,提高了位势井深度的估计精度.最后给出低能情况下解的整体存在性与不存在性.研究了一类高维空间的六阶Boussinesq方程的初值问题.该方程主要用来描述水波的传播,例如小振幅波在浅水表面的传播.利用傅立叶变换处理方程中的非减源项,并引入了相对应的能量泛函和Nehari泛函.给出了低能情况下解的整体存在结果.改进凹函数方法,引入新的辅助泛函,并且进一步发掘了Nehari流形的性质,得到整体解不存在性条件.从而进一步地给出解的整体存在与不存在的门槛条件.最后分析了强阻尼的系数与爆破解的联系.最后,研究了一类四阶Schr（?）dinger方程的柯西问题.利用方程本身的变分结构建立了相应的位势井框架,得出了能量守恒和质量守恒,进一步地得到解的整体存在结果.特别地,我们引入径向辅助函数,分析了解在有限时间内爆破的可能性.

张厚超,石东洋,王瑜^[8]（2016）在《一类非线性四阶双曲方程一个低阶混合元方法的超收敛分析》文中研究表明对一类非线性四阶双曲方程利用双线性元Q11给出一个低阶混合元逼近格式.利用双线性元的高精度结果,关于时间t的导数转移技巧,插值与投影相结合的思想及分裂技术,在半离散格和全离散式下,分别导出原始变量u和中间变量v=-?u在H1模意义下具有O（h2）/O（h2+τ2）阶的超逼近性质.与此同时,借助插值后处理技术,证明在H1模意义下具有O（h2）/O（h2+τ2）阶的整体超收敛结果.这里,h和τ分别表示空间剖分参数和时间剖分参数.

张哲^[9]（2015）在《一类非线性波动方程的初边值问题》文中认为本论文主要研究如下一类带有非线性源项和阻尼项的波动方程解的存在性及解在有限时间爆破的问题.utt+α△2u-β△u-γ△ut+σut+τu=f（u）, （x,t）∈Ω×[0,+∞), u（x,0）=u0（x）, ut（x,0）=u1（x）, x∈Ω, u（x,t）=0, （x,t）∈（?）Ω×（0,T）.这里Ω（?）Rn是一个具有光滑边界（?）Ω的有界域,u（x,t）是未知函数,△是拉普拉斯算子.论文的主要内容分为四章.绪论作为本文的第一章,主要介绍所研究问题的物理背景意义,同时对有关非线性波动方程带有初边值的问题的研究现状作了总结.论文第二章,主要根据Galerkin方法和位势井理论讨论了与这类四阶非线性波动方程相关的初边值问题,方程的整体弱解的存在性也因此而得到.对于论文第三章,主要研究了这类带有阻尼项的四阶非线性波动方程的解的初边值问题,利用位势井方法,证明了当初值满足一定条件时解会发生爆破.在第四章中,研究了当γ=0,f（u）=|u|p-1u时这类四阶非线性波动方程的初边值问题的解的高能爆破问题,应用位势井方法给出了在高初始能量的状态下初值满足什么样的条件,这个问题的解会发生爆破.在论文的最后,我们总结了本文的工作.

殷玉凤^[10]（2015）在《两类具阻尼的四阶波动方程初边值问题的研究》文中提出本文研究了两类具强阻尼及弱阻尼的四阶波动方程解的整体适定性.第二章中,我们研究了一类具强阻尼及非线性弱阻尼的四阶波动方程的初边值问题.首先,运用位势井理论构造几个能量泛函,给定一些预备引理,运用Galerkin方法得到低初始能量下整体强解的存在性及唯一性.进一步地,我们得到了在临界情况下弱解的整体存在,渐近行为和爆破.第三章中,我们讨论了一类具强阻尼及线性弱阻尼的四阶粘弹性波动方程的弱解的整体存在性及爆破的问题.本章通过建立问题的变分结构,得到了位势井深度值.运用Galerkin方法构造该系统低初始能量情况下的近似解并估计该近似解的有界性,从而得到弱解的整体存在性.接下来,利用凹函数方法证明弱解在有限时间爆破.在此基础上,我们通过定义新的条件及辅助函数得到临界及高初始能量情况下的不变集合,从而将此结论拓展到临界及高能的情况.

二、一类非线性四阶波动方程的位势井方法（论文开题报告）

（1）论文研究背景及目的

此处内容要求：

首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。

写法范例：

本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。

（2）本文研究方法

调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。

观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。

实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。

文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。

实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。

定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。

定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。

跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。

功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。

模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。

三、一类非线性四阶波动方程的位势井方法（论文提纲范文）

（1）两类带有双色散项的非线性发展方程（组）的初边值问题（论文提纲范文）

（2）几类非线性高阶发展方程解的定性分析（论文提纲范文）

（3）三类非线性波动方程的适定性研究（论文提纲范文）

（4）一类高阶耗散波动方程的适定性研究（论文提纲范文）

（5）几类非线性波动方程解的爆破行为（论文提纲范文）

（6）具对数型源高阶波动方程整体适定性研究（论文提纲范文）

（7）几类非线性系统的整体适定性研究（论文提纲范文）

（9）一类非线性波动方程的初边值问题（论文提纲范文）

（10）两类具阻尼的四阶波动方程初边值问题的研究（论文提纲范文）

四、一类非线性四阶波动方程的位势井方法（论文参考文献）

• [1]两类带有双色散项的非线性发展方程（组）的初边值问题[D]. 黎明堃. 广东技术师范大学, 2020(03)
• [2]几类非线性高阶发展方程解的定性分析[D]. 于佳利. 广州大学, 2019(01)
• [3]三类非线性波动方程的适定性研究[D]. 吴芙蓉. 哈尔滨工程大学, 2019(09)
• [4]一类高阶耗散波动方程的适定性研究[D]. 郭亚兵. 哈尔滨工程大学, 2019(09)
• [5]几类非线性波动方程解的爆破行为[D]. 王茹霞. 太原理工大学, 2018(10)
• [6]具对数型源高阶波动方程整体适定性研究[D]. 孔祥坤. 哈尔滨工程大学, 2018(01)
• [7]几类非线性系统的整体适定性研究[D]. 牛屹. 哈尔滨工程大学, 2017(07)
• [8]一类非线性四阶双曲方程一个低阶混合元方法的超收敛分析[J]. 张厚超,石东洋,王瑜. 应用数学, 2016(02)
• [9]一类非线性波动方程的初边值问题[D]. 张哲. 沈阳师范大学, 2015(12)
• [10]两类具阻尼的四阶波动方程初边值问题的研究[D]. 殷玉凤. 哈尔滨工程大学, 2015(06)

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